Karratu magiko - Wikipedia, entziklopedia askea.

Karratu magiko - Wikipedia, entziklopedia askea.
Edukira joan
Wikipedia, Entziklopedia askea
{\displaystyle n=3}
mailako karratu magikoa da, bere konstante magikoa M=15 den.
Aisialdiko matematikan
karratu magikoa
zenbaki multzo
karratu
bat da -normalean
zenbaki osoak
eta positiboak izanik- non bere lerro, zutabe eta
diagonal nagusi
bakoitzeko zenbakien
baturak
berdinak diren. Karratu magikoaren
maila
(orokorki jarrita
{\displaystyle n}
deritzona) karratuaren alde batean dauden zenbaki osoen kopurua da; eta zenbakien batura konstanteari
konstante magiko
deritzo.
Karratu magikoek historia luzea dute; lehenengo agerraldia
K.a.
190. urtean izan zen
Txinan
. Bere historian zehar esanahi ezkutu edo mistikoa izan dute, artelanetan ere agerraldiak izanik.
Gaur egun, ez dago karratu magikoen ezaugarriez baliatzen den aplikazio tekniko ezagunik; beraz, dibertimenduari, jakin-minari eta pentsamendu matematikoari lotuta jarraitzen dute. Karratu magikoekin jolasteko web-orri bat
Wolfram Mathematica
da.
Honetaz gain,
ezkutuko zientzietan
eta, zehazkiago,
magian
nabarmentzen dira karratu magikoak.
Ekialdeko teknika mota batzuetan ere garrantzi handia dute, esaterako,
Ba Gua
eta
Feng Shui
tekniketan, bai arrazoi
filosofiko
eta
numerologikoengatik
bai arrazoi praktikoengatik.
Propietateak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Konstante magikoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Edozein lerro, zutabe edo diagonalen batura den konstanteari batuketa magiko edo
konstante magiko
deritzo,
{\displaystyle M}
. Karratu magiko arrunt bakoitzak n mailaren mendeko konstante bat du,
{\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}
formularen bidez kalkulatzen dena. Hori frogatzeko,
{\displaystyle 1,2,...,n^{2}}
-ren batuketa
{\displaystyle n^{2}(n^{2}+1)/2}
dela ikus daiteke. Lerro bakoitzaren batuketa
{\displaystyle M}
denez,
{\displaystyle n}
lerroen batura
{\displaystyle nM=n^{2}(n^{2}+1)/2}
izango da. Eta hau
{\displaystyle n}
mailaz zatitzean, konstante magikoa lortzen da.
{\displaystyle n=3,4,5,6,7}
eta
{\displaystyle 8}
denean, konstante magikoak
15
34
65
111
175
{\displaystyle 15,34,65,111,175}
eta
260
{\displaystyle 260}
dira, hurrenez hurren.
Lehen mailako karratu magikoak
aldatu
aldatu iturburu kodea
{\displaystyle 1\times 1}
-ko karratu magikoa,
{\displaystyle 1}
zenbakia duen gelaxka bakarra duena,
tribiala
deritzo. Normalean, ez da kontuan hartzen karratu magikoez hitz egiten denean; baina, berez, karratu magiko bat da definizioz,
{\displaystyle n=1}
mailako gelaxka bakar bat karratu gisa hartzen badugu.
Ezin da eraiki 2 mailako karratu magikorik
aldatu
aldatu iturburu kodea
Tamaina guztietako karratu magiko arruntak eraiki daitezke,
{\displaystyle 2\times 2}
-koak izan ezik (hau da, maila
{\displaystyle n=2}
denean ezinezkoa da).
Hiru mailako karratu magikoak
aldatu
aldatu iturburu kodea
3 mailako karratu magikoak bereziak dira, karratu magiko ez tribial baten kasurik txikiena delako (mailari begira). Gainera, karratu magiko bakarra dago, bere aldaketak -hau da, errotazioak edota islapenak- kontuan hartu gabe.
Karratu Magiko Motak
aldatu
aldatu iturburu kodea
4x4 tamainako karratu magikoen sailkapen txiki bat.
Sailkapena
aldatu
aldatu iturburu kodea
Karratu magikoa
tribiala
deitzen zaio zenbaki errepikatuak baditu. Familia Santuaren tenpluko karratu magikoa, adibidez, tribiala da.
Karratu
erdimagikoa
edo ortomagikoa da batura berdina duena lerroetan eta zutabeetan bakarrik. Hau da, karratuaren diagonalek ez dute konstante magikoa betetzen.
Karratu magikoa
normala
da baldin eta karratu magikoak zenbaki osoak eta positiboak bakarrik erabiltzen dituen. Mota honi sinplea edo arrunta ere deitzen zaio.
Karratu magiko
panmagikoak
( karratu magiko pandiagonal, karratu magiko perfektu eta deabruzko karratu magiko izenekin ere ezagutua) karratu magikoen definizioaz gain beste propietate bat betetzen du. Propietatea hurrengoa da: apurtutako diagonal bakoitzak - irudian horiz, berdez eta urdinez koloreztatuta- konstante magikoa betetzen du. Ondoko irudian ikus daitekeenez, karratu magikoak 6 diagonal apurtu ditu.
Karratu magiko
perfektuenak
, karratu panmagikoak dira 2 propietate gehiagorekin. Lehena, 2x2 azpi-karratu bakoitzak konstante magikoaren
{\displaystyle 1/k}
gehitzen du non
{\displaystyle n=4k}
den, eta bigarrena, edozein diagonal batean zehar (nagusia edo apurtua)
{\displaystyle n/2}
distantziako zenbaki oso pareak osagarriak dira. Propietate hauek sendotasun eta osotasun propietateak deitzen dira, hurrenez hurren. Karratu magiko hauek bakarrik existitzen dira beraien maila bikoiti bikoitza bada, hau da, maila lau zatigarria denean. Gainera, 4 mailako karratu panmagikoak beti izango dira perfektuenak ere.
Karratu magiko
elkarkorra
da karratu magikoaren definizioa eta beste propietate bat betetzen duenean. Propietate honek dio nola erdiguneari simetriko dauden zenbaki pare bakoitzaren batura balio bera ematen duen. Beste izen hauekin ere ezagutzen dira: karratu magiko erregularrak, regmagikoak eta simetrikoak.
Karratu
ultramagikoa
da karratu magikoa elkarkorra eta panmagikoa bada.
{\displaystyle n\geq 5}
mailakoak badira bakarrik existitzen dira.
Karratu
multimagikoa
da karratu magikoaren zenbakiak beraien
berreturagatik aldatzerakoan karratu magikoak izaten jarraitzen dute,
{\displaystyle 1\leq k\leq P}
izanik. Karratu P-multimagikoak edo karratu satanikoak bezala ere ezagutzen dira. P=2,3,4 edo 5 denean izen bereziak dauzkate, hurrenez hurren, karratu bimagikoak, trimagikoak, tetramagikoak eta pentamagikoak.
Ertzdun
karratu magikoa da ertzak kentzen zaizkionean karratu magikoa izaten jarraitzen badu. Adibidez, 8. mailako ertzdun karratu magikoari ertzak kentzen bazaizkio, 6. mailako karratu magiko bat lortuko dugu.
8.mailako ertzdun karratu magikoa
64
54
63
10
53
60
15
16
47
48
49
20
44
22
42
41
25
21
58
51
33
37
29
30
28
38
14
32
34
35
36
31
27
59
26
40
24
23
43
39
57
52
45
46
18
17
19
50
13
12
61
56
11
62
55
6.mailako karratu magikoa
15
16
47
48
49
20
44
22
42
41
25
21
33
37
29
30
28
38
32
34
35
36
31
27
26
40
24
23
43
39
45
46
18
17
19
50
Aldakuntzak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Ramanujan matematikariaren karratu magikoa.
Propietate gehiago jarriz. Karratu P-multimagikoak edo zenbaki lehenez bakarrik osaturikoak izan daitezke. Orain azaldutakoak beste bi karratu magiko mota arraro dira:
Karratu
alphamagikoak
lortzen dira karratu magiko baten zenbakien izenen letrek karratu magikoa sortzen badute.
Urtebetetze
karratu magikoa, izenak azaltzen duen bezala, karratu magiko bat da non egun espezifiko bat aurkeztea eskatzen den. Honen adibide bat
Srinivasa Ramanujan
indiar matematikariak eratu zuen, 4 mailako karratua non data DD-MM-CC-YY formatuarekin goiko lerroan agertzen den.
Karratu magiko
biderkakorrak
karratu magikoen definizioan egiten dute aldaketa. Lerro, zutabe eta diagonal bakoitzaren batuketak balio bera eman beharrean, beraien biderketak eman behar du zenbaki berdina. Gainera, metodo bereziak erabiliz, karratu magiko biderkakorrak sortu daitezke
zenbaki konplexuak
erabiliz.
konstante magikoa = 216
12
36
18
konstante magikoa = 6720
20
56
40
28
14
24
12
10
Karratu magiko geometrikoa.
Karratu magiko geometrikoak
Lee Sallows
-ek sortu eta izendatu zituen. Karratu magiko mota honek zenbakien ordez
irudi geometrikoak
erabiltzen ditu bere sorreran.
Karratu magikoak beste formekin sortuz. Hau da, karratuak ez diren beste forma bi dimentsionalak erabiliz. Kasu orokorra definitzeko
zatiduneko diseinua kontsideratzen dugu. Magikoa dela esateko, zati bakoitza 1 eta
zenbakien artean izendatuz, beraien azpi-diseinu berdintsuak batura berdina dutenean. Mota honen adibide batzuk zirkulu magikoak, hiruki magikoak eta izar magikoak dira.
3 dimentsioko forma magikoak ere sor daitezke. Horien zenbait adibide:
esfera
magikoak,
zilindro
magikoak,
kubo
magikoak eta beste
hiperkubo
magikoak.
Historia
aldatu
aldatu iturburu kodea
Hirugarren mailako lehen karratu magikoa K.a. 190. urtean ezagutu zuten matematikari
txinatarrek
, eta esplizituki eman zen oraingo aroko lehen mendean. Laugarren mailako karratu magikoaren lehen kasu aipagarria 587. urtean gertatu zen,
Indian
Bagdadeko
983. urteko entziklopedia batean,
Rasa'il Ikhwan al-Safa
, 3 eta 9 bitarteko karratu magikoen adibideak agertzen dira.
XII. mendearen amaieran, karratu magikoak eraikitzeko metodo orokorrak ondo ezarrita zeuden. Garai hartan, karratu horietako batzuk gero eta gehiago erabiltzen ziren
karta magikoekin
batera, hala nola,
Shams Al-ma'arif
-en, ezkutuko helburuekin.
Indian
, laugarren mailako karratu magiko pandiagonal guztiak
Narayanak
izendatu zituen 1356an. Karratu magikoak
Europan
ezagutu ziren iturri
arabiarrak
itzuliz, esaterako,
errenazimentuan
ezkutuan zeuden objektuak, eta teoria orokorra berraurkitu egin behar izan zen,
Txinan
Indian
eta
Ekialde Hurbilean
aurretik izandako garapenetatik aparte.
Aipagarriak dira, halaber, tradizio matematiko eta numerologikokoak dituzten antzinako kulturak, ez zituztela karratu magikoak aurkitu:
grekoak
babiloniarrak
egiptoarrak
eta
kolonaurreko amerikarrak.
Bitxikeria bezala, 1998an aurkikuntza garrantzitsuak egin ziren karratu magiko mota batzuentzat, mendeetan zehar matematikariei itzuri egin zitzaizkienak. Aurkikuntza hauek bi pertsonek egin zituzten:
Kathleen Ollerenshaw
eta David Brée. Ollerenshaw-k unibertsitateko administrazioan lan egiten zuen, eta Brée-k enpresa-ikasketak,
psikologia
eta
adimen artifiziala
lantzen ditu.
Europa latinoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Persian
eta
Arabian
ez bezala, dokumentazio hobea dugu jakiteko nola transmititu ziren karratu magikoak Europara.
Manuel Moschopoulos
jakintsu
greziar
bizantziarrak
karratu magikoen gaiari buruzko matematika-tratatua idatzi zuen,
Ekialde Hurbileko
bere aurrekoen mistizismoa alde batera utzita, non bi metodo ematen zituen karratu bakoitietarako eta bi metodo bikoitietarako. Moschopoulos erabat ezezaguna izan zen Europa latindarrarentzat XVII. mendearen amaiera arte, Philippe de la Hirek bere tratatua Parisko Errege Liburutegian aurkitu zuenean.
Hala ere, ez zen izan karratu magikoei buruz idatzi zuen lehen europarra, eta horiek Europan zehar zabaldu ziren Espainian eta Italian zehar okultismoko objektu gisa. Karratuek erakusten zituzten lehen okultismo-tratatuek ez zuten deskribatzen nola zeuden eraikita. Beraz, teoria guztia berraurkitu behar izan zen.
Karratu magikoak
Europan
agertu ziren lehen aldiz
Ibn Zarkali
Toledotarrak
Al-Andalus
, idatzitako
Kitāb tadbīrāt al-kawākib
Planeten eraginei buruzko liburua ),
XI. menderako karratu planetario gisa.
Hirugarren mailako karratu magikoa modu numerologikoan eztabaidatu zuen Xll. mendearen hasieran
Abraham ibn Ezra
Toledotar
jakintsu juduek, geroago
kabalistengan
eragina izan zuenak.
Ibn Zarkaliren lana
Libro de Astromagia
bezala itzuli zen 1280ko hamarkadan,
Alfontso X.a Gaztelakoari
esker.
Alfonsineko testuan, maila ezberdinetako karratu magikoak esleitzen zaizkie dagozkien planetei, literatura islamikoan bezala; zoritxarrez, eztabaidatutako karratu guztien artean, bosgarren mailako Marteko karratu magikoa da eskuizkribuan erakusten den karratu bakarra.
Karratu magikoak berriro agertzen dira
Florentzian
Italian
, XIV. mendean.
{\displaystyle 6\times 6}
eta
{\displaystyle 9\times 9}
karratu bat
Paolo Dagomariren
Trattato d'Abbaco
(Abakoaren Tratatua) eskuizkribu batean daude ikusgai.
10
Interesgarria da ikustea Paolo Dagomarik, haren ondoren Paciolik bezala, karratuak oinarri erabilgarritzat hartzen dituela galdera eta joko matematikoak asmatzeko, eta ez duela erabilera magikorik aipatzen. Hala ere, Eguzkiaren eta Ilargiaren karratuak direla aipatzen du, eta hobeto zehaztu ez diren kalkulu astrologikoetan sartzen direla aipatu du. Esan bezala, ikuspuntu berak motibatzen du Luca Paciolik berriz florentziarra, XV. mendearen amaieran De Viribus Quantitatis lanean
{\displaystyle 3\times 3}
eta
{\displaystyle 9\times 9}
arteko karratuak deskribatzen dituena.
Europa XV. mendearen ondoren
aldatu
aldatu iturburu kodea
Karratu planetarioak Europa iparraldera hedatu ziren XV. mendean.
Poloniako Picatrix-en
Cracoviako eskuizkribuak hirugarren mailatik bederatzigarren mailara bitarteko karratu magikoak erakusten ditu. Krakoviako eskuizkribuaren karratu-multzo bera geroago agertzen da
Parazeltsoren
idazkietan Archidoxa Magican (1567), baina oso modu nahasian. 1514an,
Albrecht Dürer
-ek 4x4ko karratu bat betikotu zuen
Melancolia I
grabatu famatuan. Parazeltsoren garaikideak,
Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim
-ek, bere liburu ospetsua argitaratu zuen hiru liburukitan: De occulta philosophia 1531n, non II. liburuko 22. kapitulua honako karratu planetarioei eskaini zituena.
11
Lauki planetarioen tradizioa XVII.mendean jarraitu zuen
Athanasius Kircherrek
Oedipi Aegyptici
(1653) lanean. Alemanian, karratu magikoei buruzko itun matematikoak idatzi zituzten 1544an
Michael Stifelek
Arithmetica Integran
, mugatutako karratuak berraurkitu zituena, eta
Adam Riesek
, Agrippak argitaratutako lauki maila bakoitiak eraikitzeko zenbaketa jarraituaren metodoa berriro aurkitu zuena. Hala ere, garai hartako erlijio gorabeherak zirela eta, lan hauek ezezagunak ziren Europako gainerako herrialdeentzat.
12
1624an Frantzian,
Claude Gaspard Bachetek
"diamantearen metodoa" deskribatu zuen,
Problèmes Plaisants
liburuan Agrippako karratu bakoitiak eraikitzeko. 1640an
Bernard Frénicle de Bessyk
eta
Pierre Fermat-ek
karratu eta kubo magikoei buruzko gutunak trukatu zituzten. Horietako batean, Fermat bere metodoaren bidez 8. mailako 1.004.144.995.344 lauki magiko eraikitzeko gai izateaz harrotzen da.
13
Antoine Arnauldek
Nouveaux éléments de géometrie
(1667) lanean, ordurako azaldua zuen ertzdun karratuen eraikuntza.
14
1693an, Bernard Frénicle de Bessyk frogatu zuen lau mailatik 880 bat karratu magiko zeudela,
Des quarrez ou tables magiques
eta
Table générale des quarrez magiques de quatre de côté
bi tratatuetan, Bernardek hil eta hogei urtera argitaratuak. Frénicle-k edozein maila bikoitiko eta bakoitiko karratu magikoak eraikitzeko metodoak eman zituen, non maila bikoitiko karratuak ertzak erabiliz eraikitzen ziren. Karratu magiko baten lerro eta zutabeen trukeak karratu magiko berriak sortzen zituela ere frogatu zuen.
15
1691en,
Simon de la Loubère
-k
Du Royaume de Siam
liburuan deskribatu zuen
Siam
-en misio diplomatiko batetik itzultzean ikasi zuen karratu magiko bakoitiak eraikitzeko metodo jarraitu indiarra, Bachet-en metodoa baino azkarragoa zena. Bere funtzionamendua azaldu nahian, de la Loubere-k lehen zenbakiak eta erro-zenbakiak erabili zituen, eta berriro aurkitu zuen atariko bi karratu gehitzeko metodoa. Metodo hau gehiago ikertu zuen
Abbe Poignardek
Traité des quarrés sublimes
(1704),
Philippe de La Hire
-k
Mémoires de l'Académie des Sciences
(1705) eta
Joseph Sauveur-
ek
Construction des quarrés magiques
(1710) lanetan. De la Hire-k 1705ean ertzdun karratu zentrokideak ere aztertu zituen, Sauveurrek kubo magikoak eta letradun karratuak garatzen zituen bitartean,
Euler-
ek 1776an hartu zituenak, eta askotan, asmatu izanaren meritua esleitzen zaiona.
Saturno
=15
Jupiter
=34
14
15
12
11
10
16
13
Marte
=65
11
24
20
12
25
16
17
13
21
10
18
14
22
23
19
15
Eguzkia
=111
32
34
35
11
27
28
30
19
14
16
15
23
24
18
20
22
21
17
13
25
29
10
26
12
36
33
31
Artizarra
=175
22
47
16
41
10
35
23
48
17
42
11
29
30
24
49
18
36
12
13
31
25
43
19
37
38
14
32
26
44
20
21
39
33
27
45
46
15
40
34
28
Merkurio
=260
58
59
62
63
49
15
14
52
53
11
10
56
41
23
22
44
45
19
18
48
32
34
35
29
28
38
39
25
40
26
27
37
36
30
31
33
17
47
46
20
21
43
42
24
55
54
12
13
51
50
16
64
61
60
57
Ilargia
=369
37
78
29
70
21
62
13
54
38
79
30
71
22
63
14
46
47
39
80
31
72
23
55
15
16
48
40
81
32
64
24
56
57
17
49
41
73
33
65
25
26
58
18
50
42
74
34
66
67
27
59
10
51
43
75
35
36
68
19
60
11
52
44
76
77
28
69
20
61
12
53
45
Benjamin Franklinek, 1767an, Franklinen izen bereko karratuaren propietateak zituen karratu semimagiko bat argitaratu zuen.
16
Ordurako, karratu magikoei lotutako aurreko mistizismoa erabat desegin zen, eta gaia
jolas-matematikaren
zati bat bezala tratatzen zen.
17
Sorkuntza-metodoak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Karratu magikoak sortzeko hainbat modu aurkitu dira haien historia luzean zehar. Metodo hauek bitan banatu daitezke: metodo orokorrak eta bereziak. Metodo orokorrekin maila jakin bateko karratu magiko bat baino gehiago sortzen dugu. Metodo bereziak estandarrak dira eta karratu magikoak eratzeko modu sinpleena dira. Algoritmo edo formula batzuk jarraitzen ditu, zenbakien eredu erregularrak sortzen dituenak. Metodo berezi bat
Ramanujanren
urtebetetze karratu magikoa da. Metodo bereziak orokorrean haien sortzaileen izenengatik jakina da, adibidez, De la Louberen metodoa, Starcheyren metodoa, etab.
Karratu magikoak existi dira edozein
{\displaystyle n}
mailarako, 2 mailakoak izan ezik. Horregatik, karratu magikoak mailaren arabera klasifikatu daitezke:
bakoitia
, bikoiti bikoitza (
{\displaystyle n}
lau zatigarri) eta
bikoiti
sinplea (
{\displaystyle n}
bi zatigarri, baina ez lau). Sailkapen hau ere metodoetan oinarrituta dago, maila desberdineko karratuek teknika oso desberdinak behar dituztelako. Maila bakoiti eta bikoiti bikoitzeko karratuak erraz sortzen dira; bikoiti sinpleak sortzea, ordea, zailagoa da, zenbait metodo dauden arren; LUX metodoa,
John Horton Conway
-k sortua, esaterako.
Maila bakoitiko karratu magikoa sortzeko metodoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
1693. urtean
Loubère
diplomatiko frantsesak metodo hau argitaratu zuen,
Siamesa
metodoa ere deitua.
Metodoak lehen lerroko erdiko zutabean
{\displaystyle 1}
zenbakiarekin hastea agintzen du. Honen ondoren, zenbakiak ordenan jartzen goaz haien posizioa aurretikoaren diagonala - gora eta eskuinean - izanik. Posizioa beteta badago, bertikalki posizio bat behera goaz eta lehen bezala jarraitzen dugu. Egiten ditugun mugimenduak karratutik irteten badira, mugimedua gora eta eskuinera izanik, azken ilarara edo lehen zutabera pasatzen gara, hurrenez hurren.
1.Pausoa
2.Pausoa
3.Pausoa
4.Pausoa
5.Pausoa
6.Pausoa
7.Pausoa
8.Pausoa
9.Pausoa
Gainera, lehen lerroko erdiko zutabea ez den posizio batetik hasteak karratu erdimagiko bat sortuko du.
Maila bikoiti bikoitzeko karratu magikoak sortzeko metodoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Eredu orokorra
. Zenbaki guztiak ordenan idatzi, ezkerretik eskuinera lerroz lerro jarriz, karratuaren goiko ezkerreko izkinatik abiatuz. Ondoren, zenbakiak lekuz mantendu edo eredu erregular jakin batekin elkarren aurka jarri daitezke.
4, 8 eta 12 mailako karratu magikoak sortzeko metodoa
{\displaystyle n\times n}
tamainako bi karratutik abiatzen da, lehena ordenan zenbakiak goitik-behera eta ezkerretik-eskumara idazten, bigarrena zenbakiak alderantzizko ordenan jarriz. Karratu magikoa eratzeko, patroi-taula bat sortzen da
{\displaystyle 0}
eta
{\displaystyle 1}
zenbakiak erabiliz, behean ikusi daitekeen bezala. Patroia ulertzeko,
{\displaystyle 1}
zenbakia dagoen laukietan hasierako lehen karratuko balioak jartzen dira eta
{\displaystyle 0}
zenbakia dagoen laukietan bigarren karratukoak. 8 eta 12 mailako patroia eratzeko, 4 mailakoa errepikatuz egin daiteke.
goitik-behera eta ezkerretik-eskumara
10
11
12
13
14
15
16
alderantzizko ordena
16
15
14
13
12
11
10
Patroi taula
Lortzen den 4.mailako karratu magikoa
15
14
12
10
11
13
16
Ertzen metodoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Metodo honen bidez, 5. mailako karratu magikoak sortzeko kasua 3. mailakoaren antzekoa da, karratuaren kanpoko ertza erabiliz sortzen dira. Nabarmentzekoa da ezin dela 4. mailako karratu bat sortu metodo honekin 2. mailako karratu magikorik ez dagoelako. Metodoa burutzeko zenbait pausu egin behar dira.
Lehenik, behar den mailako karratu batetik abiatzen da, non ordenan zenbakiak goitik-behera eta ezkerretik-eskumara idazten dira. Ondoren, karratuaren zentroko balioa (
{\displaystyle 3\times 3}
-ko kasuan 5 zenbakia) ertzeko balioei kendu. Geratzen diren balioak
{\displaystyle \pm a}
motakoak izango dira, a balioa kendutako zenbakia baino txikiagoa izanik (
{\displaystyle 3\times 3}
-ko kasuan,
{\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4}
). Zenbaki horiei hezur zenbakiak deritze eta karratua karratu eskeletoa.
b'
v'
a'
u'
Ikusi karratu magikoa izateko zutabe, lerro eta diagonal bakoitzaren baturak zero eman behar duela. Horregatik hurrengo ekuazioak lortzen ditugu
{\displaystyle 3\times 3}
-ko kasuan:
{\displaystyle {\begin{cases}a+a'=0\Leftrightarrow a=-a'\\b+b'=0\Leftrightarrow b=-b'\\u+u'=0\Leftrightarrow u=-u'\\v+v'=0\Leftrightarrow v=-v'\end{cases}}}
{\displaystyle {\begin{cases}a+v+u=0\\a'+v'+u'=0\\u+b+v'=0\\u'+b'+v=0\end{cases}}}
Ikusi bigarren ataleko lehen bi eta azkenengo bi ekuazioak berdinak direla. Geratzen diren bi ekuazioetatik
{\displaystyle a,b,v}
eta
{\displaystyle u}
balioak aterako dira. Hiru balioen arteko batura bikoitia izateko bi kasu izan daitezke:
{\displaystyle (i)}
hiru balioak bikoitiak izatea.
{\displaystyle (ii)}
balio bat bikoitia eta beste biak bakoitiak izatea.
Lehen kasua 3. mailako karratuen sorreran ezinezkoa da, bikoiti bakarrak
{\displaystyle \pm 2,\pm 4}
direlako eta sortu nahi dugun karratu magikoa tribiala ez delako. Beraz, bigarren kasua eman behar da. Kasu bakoitza aztertuz, lortzen dugu
{\displaystyle u}
eta
{\displaystyle v}
bakoitiak diren balioak izan behar direla. Horregatik,
{\displaystyle u=1}
{\displaystyle v=3}
{\displaystyle a=-4}
eta
{\displaystyle b=-2}
hartu daiteke. Jarraian ikusten den bezala geratuko da. Azken pausua hasieran kendutako balioa (3 mailako kasuan 5 zenbakia) gehitzea da.
-4
-2
-3
-1
Karratu Magikoen Inguruko Problemak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Soluzio gabeko problemak
aldatu
aldatu iturburu kodea
grafikoa,
{\displaystyle n}
mailako karratu magikoen probabilitatea erakusten duena.
Zenbat
{\displaystyle n}
mailako karratu magiko daude
{\displaystyle n>5}
bada?
(Matematikako soluzio gabeko problema gehiago)
Karratu magikoen kopurua
{\displaystyle n\leq 5}
denean ezaguna da. Baina
{\displaystyle n}
balioa igo ahala kopuru hau azkar handitzen da.
{\displaystyle n=1}
mailako karratu magikoen kopurua
{\displaystyle 1}
da eta ez da
{\displaystyle n=2}
mailako karratu magikorik existitzen.
{\displaystyle n=3}
mailako karratu magiko arrunt bakarra dago. Bestalde, karratu magiko arrunten kopuruan ez gaude kontuan hartzen bere ispiluak eta biraketak.
Ikusi nola
{\displaystyle n=4}
mailako 880 karratu magiko dauden eta
{\displaystyle n=5}
mailakoak 275.305.224.
{\displaystyle n=6}
mailako karratu magikoen kopurua ez dago definitua, baina uste da
1.7745
0.0016
10
19
{\displaystyle (1.7745\pm 0.0016)*10^{19}}
balioaren inguruan dagoela
18
. Maila gorenagoa duten karratu magikoen kopurua oraindik ez dago zehaztuta.
n-Erreginen problema
aldatu
aldatu iturburu kodea
1992an Demirörs-ek, Rafraf-ek eta Tanik-ek karratu magikoak
n-erreginen
soluzio motetan bihurtzeko metodoa argitutaratu zuten.
19
n-Erreginen problema 8-Erreginen problemaren orokorpen bat da. Problema honetan
xake-taula
bat daukagu 8x8 tamainukoa eta bertan 8 erregin jarri behar dira, non erreginek ezin diren mugimendu bakar baten elkarri jan.
Karratu perfektuak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Karratu perfektuez
osaturiko hiru mailako karratu magikoaren existentzia ez da frogatu, hau da,
{\displaystyle 3\times 3}
multzo karratuko 9 zifrak karratu perfektu desberdinak izatea non karratu magikoaren definizioa betetzen duten.
20
Lerroen eta zutabeen baturak betetzen dituzten zenbaki perfektuen multzoak aurkitu dira. Bi adibide ikus daitezke, bigarrena
zenbaki lehenen
karratuaz osatua.
21
{\displaystyle 4^{2}}
23
{\displaystyle 23^{2}}
52
{\displaystyle 52^{2}}
32
{\displaystyle 32^{2}}
44
{\displaystyle 44^{2}}
17
{\displaystyle 17^{2}}
47
{\displaystyle 47^{2}}
28
{\displaystyle 28^{2}}
16
{\displaystyle 16^{2}}
11
{\displaystyle 11^{2}}
23
{\displaystyle 23^{2}}
71
{\displaystyle 71^{2}}
61
{\displaystyle 61^{2}}
41
{\displaystyle 41^{2}}
17
{\displaystyle 17^{2}}
43
{\displaystyle 43^{2}}
59
{\displaystyle 59^{2}}
19
{\displaystyle 19^{2}}
Zifra berdinarekin bukatuz
aldatu
aldatu iturburu kodea
Existitu ahal da
{\displaystyle n}
maila guztietarako karratu magiko bat non erabilitako zenbaki lehenak zifra berdina duten?
22
Uste da infinitu kasu daudela.
13
{\displaystyle n=13}
mailako karratu magikoaren kasu bat aurkeztu zen
Recreational Mathematics Magazin
aldizkarian, 169 zenbaki lehen desberdin erabiliz. Jarraian 4 mailako karratu magiko bat 7 amaierarekin.
17
307
127
347
317
157
277
47
397
107
257
37
67
227
137
367
Munduko Karratu Magikoak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Familia Santuaren Tenpluko karratu magikoa.
Espainia
aldatu
aldatu iturburu kodea
Familia Santuaren Tenplua
aldatu
aldatu iturburu kodea
Familia Santuaren tenpluaren
Pasioaren etxe-aurrean dago.
Gaudí
-k kontzeptualizatu eta
Josep Subirachs
-ek diseinatu zuen. 4. mailako karratu magiko tribiala da, 14 eta 10 balioak errepikatzen dituelako. Bere konstante magikoa 33 da,
Jesus
-en adina
Pasioan
Bitxikeria bezala, zenbaki hori Gaudiren atxikipen
masonikoari
ere aipamena egiten zaiola uste da, bere erlazioa inoiz frogatu ez den arren; masoneriaren gradu tradizionalak 33 direlako.
Dureroen karratu magikoa bezala,
kubo magiko
batera hedatu daiteke.
23
Gainera,
Espainian
zehar errepikatuta agertzen da karratu magiko hau; adibidez,
Madrilgo
Arganda kalean ikusi daiteke.
Zurgena herriko elizako karratu magikoa, bere propietate batzuekin.
Zurgena herriko "Kalbarioko Ama Birjina"
aldatu
aldatu iturburu kodea
Zurgena
herrian 1992. urtetik kontserbatzeko eta handitzeko obrak egin dira Kalbarioko Ama Birjinaren elizan. Obra hauek, gehien bat,
Gabonetako Loteriako
54713 zenbakiaren irabaziekin ordaindu dira. Zenbakia erositako jendeari eskerrak emateko, elizaren albo batean loteria zenbakia eta karratu magiko bat jarri izan dira. 7. mailako ertzdun karratu magikoa da, 175 bere konstante magikoa izanik. Bere 5. mailako karratu magikoa ertzduna da ere eta 125 dauka konstante magiko bezala. 3. mailako karratu magikoak 75 zenbakia du konstante bezala. 25 zenbakia dauka zentroan, abenduko
Gabonei
aipamena egiten diona, eta bere loteriari.
Bestalde, karratu magikoak erlazio estua dauka 100 zenbakiarekin. Loteriaren zenbakiaren balioen karratuen batura 100 da [
{\displaystyle 5^{2}+4^{2}+7^{2}+1^{2}+3^{2}}
] eta karratu magikoan 6 aldiz lortzen da. Hiru karratu magikoekin (7, 5 eta 3 mailakoak) lotuta daude 2 posizio desberdinetan. Karratu magiko bakoitzaren ertzen izkinen baturak 100 ematen du eta gurutze greko bat egitean (zutabe edo lerro erdian dagoen balioak hartuz) karratu magiko bakoitzean 100 lortzen da ere.
Pueyo de Jaca
aldatu
aldatu iturburu kodea
Foz herrian FOZ karratu magikoa etxe-albo batean.
Aragoiko
Pueyo de Jaca
herriko urbanizazio baten etxe-aurrean 10 karratu magiko desberdin daude. 8. mailako bat, 6. mailako bat, 5. mailako bi, 4. mailako lau eta 3. mailako bi. Hauetatik, 4. mailako karratu magiko bat
Dureroren
LaMelancolía I
artelanean agertzen dena da eta 5. mailako karratu magiko batek 4. mailako karratu bat dauka bere barnean.
24
FOZ-en Karratu Magikoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Antonio Pomares Olivares
jaunak bere erretiroan aurkitu zuen, bere emakumearekin
Galiziako
Foz
herrian oporretan zegoenean.
25
4. mailako
karratu latino
batekin jolasten zegoela, karratu magikoez gogoratu zen eta bi hauek batu zituen. Karratu latinotik 4 koloreen posizioa aukeratu zuen eta karratu magikotik zenbakiak. 4. mailako eta 34 konstante magikoko karratu magikoa da, eta 4 kolore desberdinen edozein konbinazio hartuta 34 zenbakia ere lortzen dugu.
Dureroren
La Melancolia I
artelanan agertzen den karratu magikoa.
Dureroren Karratu Magikoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Albrecht Dürer
artistak 1514. urtean egindako artelan batean agertzen da. Artelan honi
La Melancolia I
deitzen da eta 23.8 x 18.6 cm-ko tamaina dauka. Grabatu honen karratu magikoa Europako lehen artetzat jotzen da. Bere konstante magikoa 34 da eta beste zenbait propietate betetzen ditu:
{\displaystyle (i)}
Koadrante bakoitzean, zentroko laukian eta izkinetako 4 balioek konstante magikoa betetzen dute.
{\displaystyle (ii)}
Izkinetako balioen ondoan dauden bi laukoteek ere konstante magikoa betetzen dute [ (3+8+14+9) eta (5+2+12+15) ].
{\displaystyle (iii)}
Izkina simetrikoen ondoko zenbakiak konstante magikoa betetzen dute [ (2+8+9+15) eta (3+5+12+14) ].
{\displaystyle (iv)}
Ertz simetrikoen erdiko digituen baturak konstante magikoa ematen du [ (5+9+8+12) eta (3+2+15+14) ].
{\displaystyle (v)}
Karratuan ikus daitezkeen gurutze itxurako lau laukoteek konstante magikoa betetzen dute [ (3+5+11+15), (2+10+8+14), (3+9+7+15) eta (2+6+12+14) ].
Parshvanatha Tenpluko karratu magikoa.
Azken lerroan, gainera, 1514 urtea ikus daiteke, artelana egin zen urtea. Alboetan duen 4 eta 1 zenbakiak D eta A letrei egiten diete erreferentzia, hurrenez hurren. Bi letra hauek artistaren izenari egiten dio aipamen.
Bitxikeria bezala, karratu magiko hau kubo magiko batera hedatu daiteke.
26
Parshavnath Tenpluko Karratu Magikoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
X. mendeko
Parshavnath tenpluko
horma batean agertzen den 4. mailako karratu normala da. Tenplua
Khajuraho
hirian dago,
Indian
Chautisa Yantra
bezala ezagutzen da eta izena hinditik dator.
Hindi hizkuntzan
34 zenbakia
chautisa
da eta karratu honen konstante magikoa da.
Yantra
, ordea, Indiar erlijio
tantrikoetatik
datorren diagrama mistikoa da.
Karratu Magikoak Kulturan
aldatu
aldatu iturburu kodea
Kondairako dortokaren patroia.
Lo Shu Karratu Magikoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
K.a. 650. urteko kondaira txinatar batek Lo ibaiaren historia kontatzen du. Kondairaren arabera, uholde handi bat egon zen Txina Zaharrean. Yu erregea ura itsasorantz bideratzen saiatzen ari zen bitartean, dortoka bat urgaineratu zen patroi bitxi batekin oskolean: 3x3 sareta bat zenbaki-puntu zirkularrekin, non lerro, zutabe eta diagonal bakoitzeko zenbaki guztiak batuz, berdina ematen zuen: Kondairak adierazten du, gero pertsonek sareta hori ibaia kontrolatzeko eta uholdetatik babesteko erabiltzen zutela. Sareta honi Lo Shu Karratu Magikoa deritzo.
Karratu Magikoak eta okultismoa
aldatu
aldatu iturburu kodea
Europa osoko hainbat eskuizkributan,
XV. mendetik
aurrera, 3 eta 9 bitarteko mailako karratu magikoak aurki daitezke, zazpi planetei esleitua daudenak, eta praktika magikoetan planeten eta haien
aingeruen
(edo
deabruen
) eragina erakartzeko bitarteko gisa deskribatua daudenak.
Eskuizkribuen ezagunenen artean,
‘Liber de Angelis’
-a, 1440. urteren  inguruan idatzitako magia-eskuliburua
Cambridgeko unibertsitatean
aurki dezakegu.
‘Liber de Angelis
’-ren testua
‘De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici’
-ren oso antzekoa da, Jagielloρska Bibliotekaren 793 Kodean jasotako planeta-irudien magiari buruzko beste eskuliburu bat.
Eragiketa magikoetan egiten dena hau da: karratu egokia dagokion planetari esleitutako metalarekin egindako plaka batean grabatu behar da, eta erritual mota bat egin. Adibidez,
Saturnorena
den 3 × 3 karratua
berunezko
plaka batean sartu behar da. Bereziki, erditze zail batekin lagunduko die emakumeei.
1510ean, gutxi gorabehera,
Heinrich Cornelius Agrippak
De Occulta Philosophia'
idatzi zuen,
Marsilio Ficino
eta
Pico della Mirandolaren
lan hermetiko eta magikoetan oinarrituta. 1531. urtean, hirutik bederatzirako mailetako zazpi karratu magikoen ahalmen magikoak azaldu zituen, horietako bakoitza planeta astrologiko bati lotuta, testu zaharrenek egin zuten bezala. Liburu horrek eragin handia izan zuen
Europa
osoan
kontrarreforma
iritsi zen arte, eta Agrippako karratu magikoak, batzuetan “kamea” deitutakoak, magia zeremonial modernoaren barruan erabiltzen jarraitzen dute, berak lehen aldiz agindu zuen bezala.
Kamea horien erabilera ohikoena
espiritu
aingeru
edo
deabruen
isiltasuna eraikitzeko eredu bat ematea da; erakundearen izenaren letrak zenbaki bihurtzen dira, eta ondoz ondoko zenbaki horiek kamean egiten duten ereduaren bidez marrak egiten dira.  Testuinguru magiko batean, karratu magiko terminoa
grimorio
magikoetan dauden hitz-karratuen edo zenbaki-karratuen aniztasunari ere aplikatzen zaio, eredu nabaririk ez duten batzuk barne, baita errenkada eta zutabe zenbaki desberdinak dituztenak ere. Oro har,
talisman
gisa erabiltzen dira. Adibidez, honako karratu hauek:
Sator karratua
, zenbait grimorioren koadro magiko ezagunenetako bat, Salomongo giltza barne;
“Boterearen Liburua”
filmeko "inbidia gainditzeko" karratua; eta
“Abramelin Magialariaren Magia Sakratuaren Liburua”
liburuko bi karratu, lehenbizikoa,
jauregi
eder baten ilusioa agerrarazteko,eta bigarrena, aingeruari laguntza-eskatze batean haur baten buruan eramateko:
66
848
938
11
544
839
11
383
839
73
774
447
Erreferentziak
aldatu
aldatu iturburu kodea
«Magic Square»
Wolfram Demonstrations Project
2007-04-27
(kontsulta data: 2021-10-06)
The Magic Squares of Manuel Moschopoulos - Introduction
Txantiloi:Pipe
Mathematical Association of America.
Comes, Rosa (2016).
The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe
Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation
. Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation.
. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pp.
159–198. ISBN
9783110467307
Cammann, Schuyler (May 1969). "Islamic and Indian Magic Squares, part II".
History of Religions
(4): 271–299. doi:10.1086/462589. JSTOR
1062018. S2CID
224806255.
presently in the Biblioteca Vaticana (cod. Reg. Lat. 1283a)
See
Alfonso X el Sabio, Astromagia (Ms. Reg. lat. 1283a)
, a cura di A.D'Agostino, Napoli, Liguori, 1992
Comes, Rosa (2016).
The Transmission of Azarquiel's Magic Squares in Latin Europe
Medieval Textual Cultures: Agents of Transmission, Translation and Transformation
. Judaism, Christianity, and Islam – Tension, Transmission, Transformation.
. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pp.
159–198. ISBN
9783110467307
Mars magic square appears in figure 1 of "Saturn and Melancholy: Studies in the History of Natural Philosophy, Religion, and Art" by
Raymond Klibansky
Erwin Panofsky
and
Fritz Saxl
, Basic Books (1964)
The squares can be seen on folios 20 and 21 of MS. 2433, at the Biblioteca Universitaria of Bologna. They also appear on folio 69rv of Plimpton 167, a manuscript copy of the
Trattato dell'Abbaco
from the 15th century in the Library of Columbia University.
In a 1981 article ("Zur Frühgeschichte der magischen Quadrate in Westeuropa" i.e. "Prehistory of Magic Squares in Western Europe", Sudhoffs Archiv Kiel (1981) vol. 65, pp. 313–338) German scholar Menso Folkerts lists several manuscripts in which the "Trattato d'Abbaco" by Dagomari contains the two magic square. Folkerts quotes a 1923 article by Amedeo Agostini in the Bollettino dell'Unione Matematica Italiana: "A. Agostini in der Handschrift Bologna, Biblioteca Universitaria, Ms. 2433, f. 20v–21r; siehe Bollettino della Unione Matematica Italiana 2 (1923), 77f. Agostini bemerkte nicht, dass die Quadrate zur Abhandlung des Paolo dell'Abbaco gehören und auch in anderen Handschriften dieses Werks vorkommen, z. B. New York, Columbia University, Plimpton 167, f. 69rv; Paris, BN, ital. 946, f. 37v–38r; Florenz, Bibl. Naz., II. IX. 57, f. 86r, und Targioni 9, f. 77r; Florenz, Bibl. Riccard., Ms. 1169, f. 94–95."
Cammann,
Schuyler.
Islamic and Indian Magic Squares, part II.
doi
10.1086/462589
Cammann,
Schuyler.
Islamic and Indian Magic Squares, part II.
doi
10.1086/462589
Muurinen, Ismo (2020).
(PDF)
A history of algorithms
: from the pebble to the microchip.
Springer
1999
ISBN
3-540-63369-3
PMC
39122844
(kontsulta data: 2021-11-02)
Muurinen,
Ismo.
Fermat, magic squares and the idea of
self-supporting blocks.
or.
O'Connor, J.J.; Robertson, E.F.
Benjamin Franklin.
MacTutor History of Mathematics Archive,
or.
Ball,
W. W. Rouse.
(1922).
Mathematical recreations and essays,.
Macmillan,
(kontsulta data: 2021-11-02)
Pinn,
K.
Wieczerkowski,
C..
(1998-06).
«Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo»
International Journal of Modern Physics C
09
(04): 541–546.
doi
10.1142/S0129183198000443
ISSN
0129-1831
(kontsulta data: 2021-10-17)
(Ingelesez)
Demirörs; Rafraf; Tanik,
O.; N.; M. M..
(1992).
"Obtaining n-queens solutions from magic squares and constructing magic squares from n-queens solutions"..
Journal of Recreational Mathematics,
272-280
or.
«Magic square of squares | Open Problem Garden»
www.openproblemgarden.org
(kontsulta data: 2021-10-17)
(Gaztelaniaz)
Pickover,
Clifford A..
(2007).
El prodigio de los números.
RBA,
151
or.
ISBN
978-84-473-5339-2
«Cuadrado mágico - Matemáticas en tu mundo»
matematicasentumundo.es
(kontsulta data: 2021-10-17)
«* Magic cube with Gaudi's square - ali.skalli.gva.en»
sites.google.com
(kontsulta data: 2021-11-02)
«Cuadrados mágicos en Aragón - Matemáticas en tu mundo»
matematicasentumundo.es
(kontsulta data: 2021-10-17)
«El Cuadrado Magico de FOZ»
cuadradomagicodefoz.com
(kontsulta data: 2021-10-17)
«* Magic cube with Dürer's square - ali.skalli.gva.en»
sites.google.com
(kontsulta data: 2021-11-02)
Betiko hautsitako esteka
Ikus, gainera
aldatu
aldatu iturburu kodea
Sudoku
Yang Hui
Jolas-matematika
Kanpo estekak
aldatu
aldatu iturburu kodea
Autoritate kontrola
Wikimedia proiektuak
Datuak:
Q192089
Multimedia:
Magic squares
Q192089
Identifikadoreak
BNF
11944380z
(data)
GND
4168511-8
LCCN
sh85079628
NDL
01081048
NKC
ph214645
SUDOC
027391345
AAT
300222283
Hiztegiak eta entziklopediak
Britannica
url
Datuak:
Q192089
Multimedia:
Magic squares
Q192089
"(e)tik eskuratuta
Kategoriak
Wikipedia:Kanpo esteka hautsiak dituzten orriak from iraila 2023
Karratu magikoak
Matrizeak
Jolas-matematika
Ebatzi gabeko problema matematikoak
Ezkutuko kategoriak:
Wikipedia:Kanpo esteka hautsiak dituzten orri guztiak
Txantiloi batean data parametro ez-egokia duten artikuluak
Betiko hautsitako kanpo estekak dituzten artikuluak
Wikipedia:BNF identifikatzailea duten artikuluak
Wikipedia:GND identifikatzailea duten artikuluak
Wikipedia:LCCN identifikatzailea duten artikuluak
Wikipedia:AAT identifikatzailea duten artikuluak
Karratu magiko
Gehitu atala