Matematikk – Wikipedia

Matematikk – Wikipedia
Hopp til innhold
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Euklid blir av mange regnet som geometriens far, her i et maleri av
Rafael
Matematikk
kan beskrives som en gruppe relaterte emner der en studerer objekter karakterisert med størrelse, orientering og/eller form, og også relasjoner mellom disse objektene.
Det finnes imidlertid ingen allment anerkjent definisjon av matematikk. Faget kan også omtales som en vitenskap som undersøker
abstrakte strukturer
, deres egenskaper og mønstre.
Studiet av
tall
og bruk av tall er sentralt i all matematikk.
Matematikk kan også betraktes som et
formelt språk
, med egne symboler, tegn og terminologi, der formalismen blir brukt til å beskrive abstrakte objekter, relasjoner og strukturer.
En matematisk teori er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde, basert på matematiske begrep og uttrykt i et matematisk språk.
Matematiske teorier blir verifisert i en streng
deduksjonsprosess
, ut fra spesifiserte
aksiomer
og
definisjoner
Bruken og studiet av matematikk har dype historiske røtter, og spor kan føres langt tilbake i tid til oldtidens Babylon, Egypt, Kina og India. Fra et praktisk behov for å kunne telle, måle og sammenligne størrelser, har faget utviklet seg gradvis i mer og mer abstrakt retning. Mange store vitenskapsmenn gjennom historien har beskjeftiget seg med matematiske problemstillinger, som
Euklid
Pytagoras
Galileo Galilei
og
Isaac Newton
. Utviklingen av matematikk har vært gjensidig påvirket av utviklingen av fag der en har brukt matematikk som hjelpemiddel og verktøy.
Faget har også alltid fascinert i kraft av seg selv og vært studert uten tanke på anvendelser.
Matematikk inngår som verktøy i nær sagt alle former for vitenskap: naturvitenskap, samfunnsfag, medisin og musikk.
Som verktøy kan matematikk brukes til å lage ideelle beskrivelser av deler av det virkelige liv, og fra en matematisk teori vil en være i stand til å trekke matematiske slutninger om fenomenet eller objektet som studeres.
Også industrien bruker mange
matematiske modeller
, som ledd i design, produksjon og i beslutningsanalyse.
Faget matematikk undervises på alle trinn i utdanningssystemet, fra barn begynner å lære å telle og legge sammen, og videre til universitetsnivå.
En
matematiker
er en person med utdanning i matematikk eller som arbeider med matematiske problemstillinger. Undervisning og læring i matematikk blir behandlet i
matematikkdidaktikken
På universitetsnivå er matematikkundervisningen nær knyttet til forskning i faget. Forskning i matematikk utføres i Norge også ved forskningsinstitutter som
SINTEF
NORCE
og
Norsk Regnesentral
, samt i flere industribedrifter.
Matematisk forskning forsøker å bevise
hypoteser
og formodninger, utvikle matematiske arbeidsmetoder og å bygge nye matematiske teorier.
En lang rekke emner og disipliner inngår i matematikk, og grenser mellom de ulike disiplinene er ikke alltid presis. Grunnleggende matematiske emner er
algebra
aritmetikk
geometri
og
matematisk analyse
anvendt matematikk
studerer en bruk av matematikk i andre fag, mens
ren matematikk
arbeider med faget uten tanke på anvendelser.
Statistikk
behandler fordelinger og variasjon i numeriske datamengder, og også tilfeldige prosesser. I
numerisk matematikk
studerer en metoder for beregninger med tall, ofte for å finne tilnærmede løsninger på matematiske problemstillinger.
På norsk brukes både «matematikk» og det uformelle kortordet «matte». Begrepet «regning» brukes gjerne om elementær aritmetikk, men også om kunnskap til «å bruke matematikk på en rekke livsområder»
Definisjon av matematikk
rediger
rediger kilde
Mange forsøk er blitt gjort på å favne begrepet matematikk i en enkel, men samtidig presis definisjon.
Det eksisterer imidlertid ingen allment akseptert definisjon av faget.
trenger referanse
Selv ikke en kjent bok som «What is Mathematics» gir noen presis definisjon, men hevder at spørsmålet stilt i boktittelen kun kan besvares gjennom lang erfaring med faget.
Matematikk som vitenskapsdisiplin
rediger
rediger kilde
Gregor Reisch
, Margarita Philosophica (1508)
Carl Friedrich Gauss
har omtalt matematikk som dronningen av vitenskap.
trenger referanse
Det har imidlertid i lang tid vært store diskusjon om hvilken kategori innenfor vitenskapene matematikken tilhører. I den engelsk- og fransktalende verden har man ofte ganske enkelt definert matematikk som
vitenskap
og man har som regel ikke gjort noen videre differensiering utover dette.
Mange matematiske problemstillinger og begreper er motivert ut fra spørsmål knyttet til naturen, for eksempel relatert til
fysikk
og
ingeniørvitenskaper
På mange måter fungerer matematikken som en slags hjelpevitenskap for andre
naturvitenskaper
, men matematikk er ikke selv en naturvitenskap i egentlig forstand: Utsagn i matematikk er ikke avhengig av eksperimenter og observasjoner, slik som i de andre naturvitenskapene.
Likevel blir det – for eksempel i tilknytning til
Imre Lakatos
' teorier – antydet en slags «renessanse for empirismen», hvor matematikerne setter opp hypoteser som de undersøker.
klargjør
Ved norske universiteter er det vanlig at matematikk organiseres i samme
fakultet
som naturvitenskapene, i et matematisk-naturvitenskapelig fakultet eller
teknisk-naturvitenskapelig fakultet.
I den videregående skolen står matematikk sentralt i
realfagene
. Historisk ble disse fagene oppfattet som eksakte vitenskaper.
Matematikken har også både metodiske og innholdsmessige fellestrekk med
filosofien
, og faget
logikk
hører hjemme i begge vitenskapene.
Dermed kan en også argumentere for at matematikk hører med til de humanistiske vitenskapene.
Matematisk arbeidsform og formalisme
rediger
rediger kilde
Matematikkens grunnlag er basert på definisjoner og aksiomer. En definisjon tilordner et begrep til et ord, for eksempel ordet «kvadratrot» og begrepet «tallet som ganget med seg selv blir radikanden».
Et aksiom eller postulat er et grunnleggende utsagn som godtas uten bevis, som Euklids aksiomer for geometri og
Peanos aksiomer
for de naturlige tallene.
Fra definisjonene og aksiomene kan man ved hjelp av logiske slutninger utlede ytterligere resultat, i en strengt deduktiv prosess. Et resultat er gjerne uttrykt i form av et
teorem
, også kalt en «sats» eller «setning».
Et velkjent eksempel er
den pytagoreiske læresetningen
Et
matematisk bevis
er et logisk resonnement som bekrefter at et utsagn er «sant», i samsvar med og utledet fra forutsetningene. Bevisteori studeres som en del av
matematisk logikk
Et
lemma
er i matematikk en mindre hjelpesetning som brukes til å bevise en større setning.
Et matematisk korrolar er en slutning som kan trekkes fra en større setning.
Med sin aksiomatiske basis og deduktive arbeidsform er matematikk et
aksiomatisk-deduktivt system
I oppbyggingen av matematikk spiller
matematisk objekt
en viktig rolle. Dette er abstrakte elementer som er formelt og presis definert, og ofte karakterisert ved egenskaper som størrelse, orientering, form og struktur.
Et av de enkleste og mest grunnlegende matematiske objektene er
tall
, men listen av definerte objekter er svært stor:
vektorer
matriser
tensorer
funksjoner
distribusjoner
punkt
linjestykker
kurver
polygon
mengder
grupper
vektorrom
osv.
Mellom matematiske objekt kan en definere mange typer
relasjoner
, for eksempel at tall A er større en tall B eller at trekant A er
formlik
med trekant B. Noen relasjoner kan generaliseres
til svært mange typer objekter (som likhet og identitet), mens andre er mer spesifikt knyttet til et begrenset antall typer objekter (som formlikhet).
En
funksjon
er en viktig form for relasjon mellom to mengder, som til et hver objekt i den ene mengden knytter et objekt i den andre mengden. Nært knyttet til funksjoner er også
matematisk operasjoner
- framgangsmåter som fra ett eller et endelig antall objekter definerer et nytt objekt.
Matematisk abstraksjon
er en prosess der en beskriver objekter og relasjoner løsrevet fra den virkelige verden og også løsrevet fra spesifikke anvendelser.
Et tall er i matematikk et abstrakt konsept eller objekt, løsrevet fra telling av fingre, sauer og andre gjenstander i det virkelige liv.
Det er et grunnleggende mål i matematikk å kartlegge egenskaper og relasjoner og som gjelder for så stor klasse av objekter som mulig.
Dette kan gjøres gjennom studiet av
matematiske strukturer
, som er mengder av abstrakte objekter utstyrt med et sett av relasjoner og operasjoner.
Viktige matematiske strukturer er
grupper
kropper
ringer
topologiske rom
og
vektorrom
Matematiske symboler
blir brukt til å representere matematiske objekter og relasjoner, inkludert operasjoner. Slik sett kan matematikk karakteriseres som et
formelt språk
Det meste av matematisk notasjon som er i bruk i dag er innført etter 1600-tallet.
En
matematisk teori
er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde om et gitt emne, uttrykt i et matematisk språk. Eksempler kan være «funksjonsteori» og «gruppeteori».
Matematisk forskning
rediger
rediger kilde
Forskningsmiljøer
rediger
rediger kilde
Matematisk forskning utføres ved universiteter og høyskoler, ved frittstående forskningsinstitusjoner og i industrien. I Norge utføre forskning i matematikk ved universitetene i Agder, Bergen, Oslo, Stavanger og Tromsø.
Både SINTEF, NORCE og Norsk Regnesentral er frittstående institusjoner med aktiviteter i matematikk.
Forskningspriser
rediger
rediger kilde
Det eksisterer mange forskningspriser særskilt rettet mot matematikk, og både
Fieldsmedaljen
og
Abelprisen
er blir kalt «nobelprisen i matematikk».
10
Fieldsmedaljen er oppkalt etter den amerikanske matematikeren
John Charles Fields
, og prisen deles ut hvert fjerde år av den frittstående organisasjonen
International Mathematical Union
Abelprisen er oppkalt etter den norske matematikeren
Niels Henrik Abel
og deles ut årlig av
Det Norske Videnskaps-Akademi
Andre kjente priser som deles ut spesifikt i matematikk er
Leroy P. Steele-prisen
Shawprisen
og
Wolfprisen
. Mer generelle vitenskapspriser er også tildelt matematikere, slik som
Balzanprisen
og
Crafoordprisen
Viggo Brun-prisen
tildeles yngre norske forskere for fremragende bidrag i matematikk. Prisen er oppkalt etter den norske talteoretikeren
Viggo Brun
og deles ut av
Norsk matematisk forening
11
Nobelprisen
deles ikke ut i matematikk. Spekulasjoner om at dette skyldes rivalisering mellom
Alfred Nobel
og den svenske matematikeren
Gösta Mittag-Leffler
kan ikke underbygges av historiske fakta.
12
Flere matematikere har mottatt nobelprisen i andre fag:
John Nash
Leonid Hurwicz
og
Clive Granger
fikk hver for seg prisen i økonomi, mens
Max Born
har fått prisen i fysikk.
Matematikeren
Bertrand Russell
fikk
nobelprisen i litteratur
, men i hovedsak for ikke-matematisk arbeid.
Forskningsutfordringer
rediger
rediger kilde
Matematisk forskning er like vanskelig å karakterisere som begrepet «matematikk», og forskningen spenner over et svært vidt felt av emner. I det følgende er noen former for problemstillinger i matematisk forskning skissemessig omtalt, uten krav på å være systematisk, ikke-overlappende eller fullstendig.
Kjente hypoteser og problem
Gjennom historien har det vært framsatt mange
hypoteser
og
formodninger
(antagelser, påstander, engelsk: conjectures), der en formulert mer eller mindre presise matematiske utsagn uten bevis.
Noen av disse påstandene og hypotesene har vist seg å ikke være riktige, for eksempel
Marin Mersennes
berømte antagelse om
primtall
. Andre hypoteser har vært mulig å bevise:
Fermats siste teorem
ble skrevet som en merknad i 1637 og ble bevist først i 1995, av
Andrew Wiles
. Slike formodninger er ofte så mye omtalt og studert at de blir gitt egne navn, og mange står fremdeles uten falsifikasjon eller bevis, for eksempel
Goldbachs formodning
og
Riemann-hypotesen
En hypotese innebærer en gjetning om problemløsningen; en påstand om at det eksisterer en løsning eller et utsagn om formen på løsningen. Kjente problemstillinger kan imidlertid være formulert mer åpent, uten å si noe om løsningen, og også slike problemstillinger utfordrer forskningen.
Hilbertproblemene
er en liste på 23 matematiske problem publisert av
David Hilbert
i 1900, problem som da de ble publiserte var uten kjent løsning. Noen av problemene var formulert som formodninger, andre som åpne problem.
Millenniumprisproblemene
er en lignende liste, framsatt i år 2000.
Forskning kan også resultere i en påvisning av at et formulert problem
ikke
har en løsning, slik som
Leonhard Euler
viste for problemet kalt «
Broene i Königsberg
».
Matematisk teoribygging
Mange av de vitenskapelige prisene er de siste årene er begrunnet med utsagn av typen «har gitt viktige bidrag til teorien om ...». Målet for slik forskning er å bygge opp en så helhetlig kunnskap som mulig om et valgt område.
Dette gjøres på mange måter, ved å kartlege strukturer, undersøke relasjoner til andre grener av matematikk og ved å utlede konsekvenser av en kjent teori. Ofte bygges en teori stein på stein, som en lang følge av teorem og beviser. En oversikt publisert i 2005 anslo at databasen
Mathemathical Reviews
13
, en database over vitenskapelige matematiske artikler publisert siden 1940, inneholdt over 1,9 million artikler, og storparten av disse presenterte teorem og tilhørende bevis.
14
I samsvar med ønsket om abstraksjon kan generaliseringer og sammenknytninger av ulike teorier være viktige resultat.
Akshay Venkatesh
fikk Fieldsmedaljen i 2018 for «syntese av analytisk tallteori, homogen dynamikk, topologi og representasjonsteori».
15
Utvikling av matematiske arbeidsmetoder
Til hjelp i problemløsning blir det utviklet stadig nye matematiske arbeidsmetoder. Dette kan være analysemetoder,
algoritmer
og løsningsmetoder, modelleringsmetoder, beregningsmetoder osv; alt som utvider den matematiske verktøykassen.
Effektiv bruk av ny datamaskin-teknologi kan for eksempel stille andre og nye krav til metodene som blir benyttet, som
krav til å kunne
paralleliseres
på en effektiv måte.
Forbedring av metoder for å løse svært store
lineære ligningssystem
er svært viktig for mange praktiske anvendelser.
Kartlegging av egenskaper kan være viktige bidrag til forståelsen av en matematiske metode, for eksempel en undersøking av
stabilitet
til en
numerisk metode
Ligningsløsning
Matematisk teori inneholder svært mange typer av
ligninger
, og beskrivelse av eksakte og tilnærmede løsninger av ligninger er et utømmelig område for matematisk arbeid.
Differensialligninger
er svært viktig i all anvendt matematikk. I ren matematikk studeres blant annet
algebraiske ligninger
og
diofantiske ligninger
Matematikere kan være beryktet for tilsynelatende å være fornøyd med å vise
eksistens og entydighet
for løsningen til en ligning: Selv om ikke greier å vise hva løsningen er, så kan en vise at det eksisterer en og kun en løsning.
Kartleging av matematiske egenskaper
Kartlegging og beskrivelse av matematiske egenskaper til definerte objekter og strukturer er en viktig del av matematisk forskning. Da nordmannen
Atle Selberg
i 1950 fikk Fieldsmedaljen for fremragende matematisk forskning, var dette delvis begrunnet i en karakterisering av nullpunkt i
Riemanns zetafunksjon
Nye områder og anvendelser
Faget matematikk blir stadig utvidet til nye felt og tatt i bruk i nye sammenhenger.
Spillteori
, der matematisk teori brukes til å undersøke adferd og valgsituasjoner, er en relativt ny vitenskapsgrein, utviklet etter andre verdenskrig.
Matematikk som verktøy
rediger
rediger kilde
Jakob Bernoulli
Ars Conjectandi
(1713)
Matematikk blir brukt som hjelpemiddel og verktøy innenfor alle de formaliserte vitenskapene. I empiriske og eksperimentelle fag er ofte tallbehandling og statistikk grunnleggende viktig.
Matematiske modeller
kan også utledes fra fundamentale prinsipp i en deduktiv prosess og brukes til å trekke matematiske slutninger om det fenomenet eller objektet som studeres.
Værmelding
er et kjent område der bruken av matematikk er svært viktig.
Industrien benytter mye matematikk til design og konstruksjon, for eksempel
gjennom
dataassistert konstruksjon
og programvare for modellsimuleringer. Beslutningsprosesser i industrien kan også benytte matematiske metoder, for eksempel gjennom
risikoanalyse
. Undervisningsfaget
industriell matematikk
er laget for å studere matematikk ut fra industriens behov.
I flere århundrer har matematikken blitt utviklet gjennom fremskritt innenfor blant annet
astronomi
, fysikk og økonomi. Samtidig har
matematikken hatt betydning for fremskritt gjort innenfor disse fagområdene: Isaac Newton utviklet
infinitesimalregningen
for å få en bedre forståelse av forholdet mellom krefter og endring av krefter.
Joseph Fourier
la grunnlaget for det moderne funksjonsbegrepet gjennom studier av varmeledning.
Friedrich Gauss utviklet den såkalte
minste kvadraters metode
og systematiserte løsning av lineære ligninger i forbindelse med landmåling omkring Hannover.
Motsatt finner vi også flere eksempler på at matematikere har utviklet teorier som man først senere har funnet til dels overraskende praktiske anvendelser for.
Eksempelvis har
boolsk algebra
funnet anvendelser innen digitalteknikk og elektrisk styringsteknikk.
Tallteori
var i lang tid en slags intellektuell lek uten praktisk nytte, men spiller i vår tid en viktig rolle i
kryptografi
– et fagfelt som er avgjørende for bruken av internett.
Matematikk i utdanning
rediger
rediger kilde
Utdypende artikler:
Matematikkdidaktikk
og
Matematikk i norsk skole
Matematikk har i alle år vært et av de mest sentrale fagene i norsk skole. Matematikk er eget fagområde i planene for både barnehage, grunnskole og videregående skole.
De aller fleste høgskoler og universiteter i Norge tilbyr kurs i matematikk.
I skolen skal faget medvirke til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den enkelte trenger.
Emner og problemstillinger knyttet til undervisning og læring i matematikk blir behandlet i matematikkdidaktikken. Mange elever har vansker med matematikkfaget, og studiet av
matematikkvansker
er et sentralt felt som ligger i skjæringspunktet mellom matematikkdidaktikk og
spesialpedagogikk
Matematikk som rekreasjon
rediger
rediger kilde
Mange finner glede og hjernetrim i matematikk som rekreasjon, ved å løse matematiske nøtter og puslespill og ved å fundere på matematiske paradokser.
16
Sudoku
og
kakuro
er en kjente former for tallspill.
I mange
dataspill
er deloppgaver av matematisk karakter, ofte gitt en billedmessig innpakning.
Matematiske fagområder
rediger
rediger kilde
Se også
Liste over fagområder i matematikk
Faget matematikk kan deles opp i svært mange delemner, som til dels er overlappende. Viktige hovedkategorier er ren matematikk, anvendt matematikk, statistikk og numerisk matematikk.
Grunnleggende emner er felles for alle disse fire områdene.
Matematisk basis
rediger
rediger kilde
Matematikk kan grovt deles inn i studier av størrelser, struktur, form og endring, svarende til de fire grunnleggende områdene
aritmetikk
algebra
geometri
og
analyse
Aritmetikk er et delemne i
tallteori
og studerer tall og grunnleggende operasjoner på disse.
De grunnleggende
aritmetiske
operasjonene er
addisjon
subtraksjon
multiplikasjon
og
divisjon
, og
kvadrering
regnes også ofte med blant disse.
Algebra er studiet av matematiske symboler og regler for behandling av disse. Mange assosierer algebra med «bokstavregning», selv om dette bare i begrenset omfang beskriver emnet.
Elementær algebra
omfatter bruk av symboler og
variabler
, blant annet i ligninger. En viktig bestanddel i mange teorier og anvendelser er
lineær algebra
I vid forstand omfatter algebra alt fra ligningsløsning til studiet av abstrakte strukturer som grupper og ringer.
Geometri behandler figurer og form, både i det todimensjonale planet, i det tredimensjonale rommet og også i mer abstrakte rom.
Klassisk geometri studerer konstruksjoner utført med passer og linjal i planet, i
euklidsk geometri
Ved å bruke alternative aksiomer kan en også utvikle
ikke-euklidsk geometri
, av og til omtalt som geometri for ikke-plane flater.
differensialgeometri
brukes teknikker fra matematisk analyse til studiet av geometriske former, inkludert differensial- og integralregning.
Matematisk analyse behandler uendelige prosesser, grenser og grenseverdier, spesielt i forbindelse med
integrasjon
og
derivasjon
av funksjoner.
Her studeres også
følger
og
rekker
med uendelig mange ledd. Analysen kan videre deles i
reell analyse
og
kompleks analyse
, avhengig av om en studerer mengde an
reelle tall
eller
komplekse tall
Målteori
er en grein av analysen som tar utgangspunkt i grunnleggende begreper for lengde, areal og volum, og som på den måten danner basis for integralteori.
Ren matematikk
rediger
rediger kilde
Utdypende artikkel:
Ren matematikk
I ren matematikk studeres faget som verdifullt i seg selv, uten tanke på anvendelser i den virkelige verden. Motivasjonen for faget ligger i nysgjerrighet og i den intellektuelle utfordringen som problemløsningen gir samt estetikken i de teoriene som skapes, «matematikk som kunst».
17
De fire grunnleggende områdene aritmetikk, algebra, geometri og analyse videreføres i ren matematikk, ofte til en svært abstrakt form.
abstrakt algebra
videreføres kjente resultat fra aritmetikk og elementær algebra. Matematiske strukturer som grupper, kropper og ringer danner basis for en abstrakt beskrivelse av objekter og relasjoner.
Algebraisk geometri
bruker teknikker fra abstrakt algebra for å løse geometriske problemer. I
topologi
studeres geometriske egenskaper som bevares under kontinuerlige transformasjoner.
Anvendt matematikk
rediger
rediger kilde
Utdypende artikkel:
Anvendt matematikk
Anvendt matematikk studerer metoder og teori som kan brukes som hjelpemiddel i andre fag. Særlig nær tilknytning og symbiose har det vært mellom matematikk og fysikk, der anvendt matematikk inkluderer emner som
aerodynamikk
akustikk
klassisk mekanikk
og
væskemekanikk
Anvendelser kan også hentes fra økonomifag, i
matematisk økonomi
. Spesielt er
samfunnsøkonomi
sterkt preget av matematiske modeller.
Statistikk
rediger
rediger kilde
Utdypende artikkel:
Statistikk
I statistikk undersøker en egenskaper til tallfordelinger og også
tilfeldige prosesser
. Det er ulike syn på hvordan statistikk forholder seg til matematikk, om dette er et delemne under matematikk (for eksempel under anvendt matematikk) eller om det skal betraktes som et uavhengig matematisk fag.
trenger referanse
Statistikk er et viktig i alle empiriske og eksperimentelle fag, med systematiske metoder for datainnsamling, databeskrivelse, håndtering av usikkerhet og
hypotesetesting
Den mer teoretiske delen av statistikken er basert på
sannsynlighetsteori
Numerisk matematikk
rediger
rediger kilde
Utdypende artikkel:
Numerisk analyse
Numerisk analyse studerer metoder og algoritmer for å utføre beregninger med tall. Algoritmene er ofte konstruert for å finne tilnærmede løsninger på matematiske problemstillinger som vanskelig lar seg løse eksakt. Dette omfatter for eksempel numerisk løsning av differensialligninger og numerisk løsning av svært store lineære ligningssystemer.
Numerisk analyse kan betraktes som en del av matematisk analyse eller som et delemne under anvendt matematikk, men også som en selvstendig matematisk disiplin.
Numerisk matematikk har hatt en eksplosiv utvikling parallelt med utviklingen av datateknologi og med industrielle behov for å utføre svært store beregningsoppgaver.
Historie
rediger
rediger kilde
Hovedartikkel:
Matematikkens historie
Etymologi
rediger
rediger kilde
Ordet «matematikk» (gresk: μαθηματικά eller
mathēmatiká
) kommer fra det greske ordet μάθημα (
máthēma
), som betyr læring, studie og vitenskap.
18
Filosofen
Platon
hevdet at en person ikke kunne være lærd uten å kjenne til matematikk. Ordet
polymath
ble brukt av grekerne for å betegne en person med stor kunnskap, ikke bare i matematikk. Alt i klassisk tid fikk ordet
máthēma
etter hvert en mer avgrenset og teknisk betydning, som «matematisk studie». Adjektivet μαθηματικός (
mathēmatikós
) er også relatert til læring, med gradvis utvikling til betydningen «matematisk».
Uttrykket μαθηματικὴ τέχνη (
mathēmatikḗ tékhnē
), på latin
ars mathematica
, betyr matematisk kunst.
Historisk oversikt
rediger
rediger kilde
Den egyptiske Rhind-papyrusen
Matematikk er en av de eldste vitenskapene vi har. De eldste matematiske skriftene er funnet fra oldtidens Mesopotamia fra ca 1800 f.Kr. og fra Egypt, ca 1300 f.Kr. Den pytagoreiske læresetning var kjent i Mesopotamia lenge før Pytagoras levde. Tidlige tekster er også funnet i India, de eldste fra omkring 800 f.Kr. Blant de eldste kinesiske verkene er boka
Zhoubi Suanjing
tidfestet til omkring 300 f.Kr.
En tidlig blomstringstid fant sted i
antikkens Hellas
. Pytagoras dannet sin skole som blandet matematikk, filosofi og mystikk i sydspissen av
Italia
omkring 500 før Kristus.
I gresk matematikk finner vi de første seriøse forsøk på logiske beviser og aksiomatisering, særlig gjennom den
euklidske geometrien
. Euklid fra Alexandria (født omkring 300 f.Kr) skrev verket
Elementer
, som har fungert som lærebok i over 2000 år.
Gresk og indisk matematikk ble videreutviklet først og fremst av matematikere fra den islamske verden, i Arabia og Persia. Perseren
Al-Khwârizmî
(født omkring 790 e.Kr) regnes som algebraens far, med sin systematiske lærebok om løsning av ligninger. Han skrev også tekster om de hindu-arabiske tallene.
I tidlig middelalder ble verk fra den islamske verden oversatt til latin, og en fikk på den måten overført både arabisk, gresk, indisk og persisk kunnskap til Europa.
Adelard fra Bath
(født omkring 1080) og
Leonardo Fibonacci
(født omkring 1170) var begge med på å introdusere de hindu-arabiske tallene til Europa, og disse fortrengte etter hvert de upraktiske
romertallene
Renessansen i Italia var også en revitalisering av vitenskapene. Da universitetene ble gradvis utviklet i europeisk middelalder, var aritmetikk og geometri blant de syv
frie kunstene
som ble undervist. Innføring av boktrykkerkunsten på 1400-tallet var viktig for spredning av matematisk kunnskap og for en langsom etablering av en felles symbolbruk. Den første bruken av pluss- og minus-tegn kom på trykk i tyske læreverk i algebra omkring 1500.
Bruken av symboler for variabler ble introdusert av franskmannen
François Viète
(født 1540).
Galileo Galilei
(1564-1642) og
Johannes Kepler
(1571-1630) var begge viktige for bruken av matematikk i andre vitenskaper, i astronomi og fysikk.
René Descartes
(1596-1650) var både filosof og matematiker,
og han la grunnlaget for moderne matematikk med innføringen av koordinater og kombinasjonen av algebra og geometri i
analytisk geometri
Andvendelser i naturvitenskapene var også viktig for
Gottfried Leibniz
og
Isaac Newton
. Uavhengig av hverandre la de begge grunnlaget for matematisk analyse, gjennom undersøkelsen av tangenter og flateinnhold, og ved innføring av infinitesimalregningen omkring århundreskiftet 1700.
Newtons mekanikk og loven om tyngdekraft ble i de følgende århundrene kilder til mange ulike matematiske problemer.
Leonhard Euler
(1707-1783) ga også viktige bidrag til matematisk analyse. Han arbeidet i nesten alle kjente områder av matematikk, samt la grunnlaget for nye retninger.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) er rangert blant de mest innflytelsesrike matematikere gjennom tidene. I doktorarbeidet sitt ga han et bevis for
algebraens fundamentalteorem
, knyttet til løsning av algebraiske ligninger. Gauss ga store bidrag til algebra, analyse og geometri.
Som del av studiet av algebraiske ligninger utviklet
Niels Henrik Abel
og
Évariste Galois
det abstrakte begrepet «gruppe» og teori for slike strukturer.
I den videre fordypningen av disse problemstillingene ble algebraen og den algebraiske geometrien utviklet.
I løpet av 1800-tallet ble infinitesimalregningen utviklet mot den formen den har i dag, særlig påvirket av
Cauchy
og
Karl Weierstrass
' arbeider.
Mot slutten av århundret ble mengdelæren utviklet av
Georg Cantor
Utviklingen i første halvdel av det 20. århundret ble særlig påvirket av
David Hilberts
liste over 23 matematiske problemer.
Ett av disse problemene var forsøket på en fullstendig aksiomatisering av matematikken, og det var samtidig sterke forsøk på å abstrahere matematikken ytterligere.
Videre utviklet
Emmy Noether
grunnlaget for moderne
algebra
Felix Hausdorff
utviklet
topologien
, og
Stefan Banach
innførte et svært viktig begrep innenfor funksjonsanalysen,
i ettertid kalt
Banachrom
Innhold og områder
rediger
rediger kilde
Følgende oversikt er ment å gi et første kronologisk overblikk over den store bredden av matematiske emner og delemner:
regning med tall (aritmetikk),
undersøkelse av figurer (
geometri
– de klassiske kulturene,
Euklid
),
undersøkelse av korrekte slutninger (
logikk
Aristoteles
),
trigonometri
geometrien
og vinklene til en trekant,
problemløsning
George Pólya
løsing av ligninger (
algebra
Tartaglia
middelalderen
og
renessansen
),
undersøkelse av delelighet (
tallteori
Euklid
Diofant
Fermat
Leonhard Euler
Carl Friedrich Gauss
Bernhard Riemann
),
regning på forhold i rommet (
analytisk geometri
René Descartes
, 1600-tallet),
regning med sannsynligheter (
sannsynlighetsregning
Blaise Pascal
Jakob Bernoulli
Pierre-Simon Laplace
, 1600-tallet til 1800-tallet),
undersøkelse av
funksjoner
, særlig vekst, krumming, forhold nær uendeligheten og flateinnhold under kurver (
analyse
Isaac Newton
Gottfried Wilhelm Leibniz
, slutten av 1600-tallet),
beskrivelsen av fysiske størrelser (
differensialligninger
partielle differensialligninger
vektoranalyse
Leonhard Euler
Bernoulli
-brødrene,
Pierre-Simon Laplace
Carl Friedrich Gauss
Siméon Denis Poisson
Jean Baptiste Joseph Fourier
George Green
George Gabriel Stokes
David Hilbert
, 1700-tallet til 1800-tallet),
perfeksjoneringen av analysen ved innføringen av
komplekse tall
funksjonsteori
Carl Friedrich Gauss
Cauchy
Karl Weierstrass
, 1800-tallet),
beregninger av krummede flater og rom (
differensialgeometri
Carl Friedrich Gauss
Bernhard Riemann
Tullio Levi-Civita
, 1800-tallet),
statistikk
og
dataanalyse
Ronald Fisher
Karl Pearson
, 1900- og 2000-tall.
det systematiske studiet av symmetrier (
gruppeteori
Évariste Galois
Niels Henrik Abel
Felix Klein
Sophus Lie
, 1800-tallet),
oppklaringer av uendelighetsparadoksene (
mengdelære
og
logikk
Georg Cantor
Gottlob Frege
Bertrand Russell
Ernst Zermelo
Abraham Adolf Fraenkel
, begynnelsen av 1900-tallet),
undersøkelse av strukturer og teorier
approksimative løsninger og beregning med datamaskiner (
numerisk analyse
John von Neumann
, fra 1945 )
Se også
rediger
rediger kilde
Vampyrtall
Ugyldige bevis
Liste over uløste matematiske gåter
Liste over viktige matematiske tidsskrift
Referanser
rediger
rediger kilde
E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989).
Dictionary of mathematics
. Glasgow: Collins.
ISBN
0-00-434347-6
P.Jourdain:
The Nature of Mathematics
M.S.Klamkin, red. (1987).
Mathematical modelling: Classroom notes in applied mathematics
. SIAM.
ISBN
0-89871-204-1
www.udir.no
Arkivert
4. desember 2019 hos
Wayback Machine
Grunnleggende ferdigheter: Regning
(Utdanningsdirektoratet). Besøkt 4. desember 2019
D.K.Yadav (2017).
«Exact definitions of mathematics»
Internation Research Journal of Mathematics, Engineering and IT
(på engelsk) (1 utg.). 4: 34-42.
R.Courant, H.Robbins:
What is Mathematics
, Forord
H.B.Sinaceur (2014).
«Facets and levels of mathematical abstraction»
Philosophia Scientiæ
(på engelsk). 18 (1): 81-112.
F.Cajori (2007).
A history of mathematical notations
. 1 og 2. Cosimo.
ISBN
978-1-60206-684-7
forskning.no
Sier nei takk til Fieldsmedaljen
. Publisert august 2006. Besøkt 2. desember 2019
kongehuste.no
Abelprisen 2019
. Publisert mai 2019. Besøkt 2. desember 2019
web.matematikkforeningen.no
Norsk matematisk forening: Viggo Brun-prisen
. Besøkt 2. desember 2019
J.E.Morrill (1995). «A Nobel Prize in Mathematics».
The American Mathematical Monthly
(på engelsk). 102 (10): 888-892.
www.ams.org
Mathematical Reviews
. Besøkt 4. desember 2019
M.B.Sevryuk (2005).
«Book Reviews: Arnold's problems (Vladimir I. Arnold)»
(PDF)
Bullentin of the American Mathematical Society
(på engelsk). 43 (1): 101-109.
www.mathunion.org
Fields Medals 2018
. Besøkt 4. desember 2019
M.Gardner (1965).
Mathematical puzzles and diversions
. New York: Pelican.
ISBN
0-14-02-0713-9
www.uib.no
Matematikk som kunst og vitenskap
. Besøkt 2. desember 2019
S.Schwartzman:
The words of mathematics
, s.132
Litteratur
rediger
rediger kilde
Jourdain, Philip E.B. (2003). «The Nature of Mathematics». I James R. Newman.
The World of Mathematics.
. Dover.
ISBN
0-486-43268-8
R.Courant, H.Robbins (1941).
What is Mathematics?
. Oxford University Press.
ISBN
0-19-502517-2
Peterson, Ivars (2001).
Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics.
. Owl Books.
ISBN
0-8050-7159-8
Thorvaldsen, Steinar (2002).
Matematisk kulturhistorie.
(PDF)
. Tromsø: Eureka.
ISBN
82-7389-045-7
. Arkivert fra
originalen
(PDF)
4. mars 2016.
Steven Schwartzman (1994).
The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English.
. Washington, DC: The Mathematical Association of America.
ISBN
0-88385-511-9
C.B.Boyer (1968).
A history of mathematics
. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc.
ISBN
0-691-02391-3
Eksterne lenker
rediger
rediger kilde
(en)
Mathematics
– kategori av bilder, video eller lyd på
Commons
Utdanning.no sin
yrkesbeskrivelse av matematiker
Matematikkforum med regelbøker
E-læring i matematikk
Matematikkoppgaver
Det nasjonale nettstedet for matematikk
Norsk matematisk forening
Matte.no
død lenke
Læreplan i matematikk, 1.-10. årstrinn, VG1P, VG1T, VG2P og VG2T
Mathematica Scandinavica (tidsskrift)
Normat – Nordisk matematisk tidsskrift
Wolfram MathWorld (engelsk)
Wolfram Integrals (engelsk)
Slik har matematikken utviklet seg
- artikkel fra forskning.no 27.4.05
Hovedområder i
matematikk
Algebra
Analyse
Anvendt matematikk
Geometri
Kombinatorikk
Numerisk analyse
Topologi
Statistikk
Vitenskap
Naturvitenskap
Matematikk
Informatikk
Fysikk
Kjemi
Geofag
Biologi
Helse
Medisin
Farmasi
Psykologi
Odontologi
Samfunnsvitenskap
Samfunnsøkonomi
Sosiologi
Statsvitenskap
og
Organisasjonsteori
Sosialantropologi
Pedagogikk
Samfunnsgeografi
Demografi
Medievitenskap
Informasjonsvitenskap
Bibliotekvitenskap
Rettsvitenskap
Kriminologi
Humaniora
Lingvistikk
Litteraturvitenskap
Historie
Arkeologi
Folkloristikk
og
Etnologi
Kunsthistorie
Teologi
Filosofi
Logikk
Teknologi
Petroleumsteknologi
Geoteknikk
Materialvitenskap
Metallurgi
Arkitektur
Elektronikk
Informasjonsteknologi
Kommunikasjonsteknologi
Telekommunikasjon
Teknisk kybernetikk
Elektrokjemi
Kjemiteknikk
Bioteknologi
Nanoteknologi
Industriell design
Produktdesign
Relaterte artikler
Vitenskapelig metode
Vitenskapsteori
Pseudovitenskap
Norsk inndeling av vitenskapsdisipliner
Kategori
Oppslagsverk/autoritetsdata
Store norske leksikon
Lille norske leksikon
Store Danske Encyklopædi
Encyclopædia Britannica
Canadian Encyclopedia
MathWorld
Brockhaus Enzyklopädie
Encyclopædia Universalis
Nationalencyklopedin
GND
LCCN
BNF
BNF (data)
HDS
NDL
NKC
BNE
BBC Things
Hentet fra «
Kategorier
Matematikk
Realfag
Skjulte kategorier:
Artikler som trenger referanser
Artikler som trenger presiseringer
Artikler med offisielle lenker fra Wikidata
Artikler med døde eksterne lenker
Artikler med autoritetsdatalenker fra Wikidata
1000 artikler enhver Wikipedia bør ha
Matematikk
Nytt emne